2023-05-01 금융분석데이터 스터디 3주차 !!

CH 11. 수학용 도구

금융 분야에 유용한 수학적 도구 소개

근사법

1. 회귀법

2. 보간법

최적화

1. 전역 최적화

2. 국소 최적화

3. 제약 조건이 있는 최적화

적분

1. 수치적분

2. 시뮬레이션을 사용한 적분 계산

심볼릭 연산

1. 심볼릭 연산 기초

2. 방정식

3. 적분

4. 미분

근사법

1. 회귀법

• 단항식 기저 함수
• 개별 기저 함수
• 잡음이 있는 데이터
• 정렬되지 않은 데이터
• 다차원 데이터

최소 자승 회귀법은 간단한 함수의 근사부터 잡음이 있거나 정렬되지 않은 함수의 근사까지 다양하게 응용할 수 있다. 이 방법은 1차원 함수 뿐 만 아니라 다차원 함수에도 적용가능하다.

2. 보간법

• 연속 미분 가능한 함수
• 최소 3차 이상 => 큐빅 스플라인 함수
• 2차 보간 함수나 1차 선형 보간 함수의 경우에도 적용 가능
• x축 방향으로 정렬된 자료 사용

스플라인 보간법을 적용하면 최소 자승 회귀법보다 더 정확한 근사 결과를 얻을 수 있다. 그러나 보간법을 사용하려면 데이터가 정렬되어 있어야 하고 잡음이 없어야 하며 다차원 문제에는 적용할 수 없다. 또한, 계산량이 더 많기에 어떤 경우에는 회귀법보다 훨씬 계산 시간이 오래 걸릴 수 있다.

최적화

1. 전역 최적화

• 주어진 함수의 전역 최소점 또는 최대점을 찾는 최적화 기술

2. 국소 최적화

• 함수의 일부 영역에서 최소값 또는 최대값을 찾는 최적화 기술
• 국소 최솟값을 구하기 전에 전역 최소화를 할 것 권장

3. 제약 조건이 있는 최적화

• 경제 혹은 금융 관련 최적화 문제는 한 개 이상의 제약 조건多
• 최소화 함숫값을 얻으려면 부호 반대

적분

1. 수치적분

• 가우스 구적법 (sci.fixed_quad())
• 적응 구적법 (sci.quad())
• 롬베르크 적분법 (sci.romberg())
• 사다리꼴법 (sci.trapz())
• 심슨 방법 (sci.simps())

2. 시뮬레이션을 사용한 적분 계산

• 몬테카를로 시뮬레이션 : 사용한 난수 x 값의 개수가 증가할 수록 추정한 적분값이 실제 적분값으로 수렴한다.

심볼릭 연산

1. 심볼릭 연산 기초

• Symbol 클래스
• SymPy : 수학식을 자동으로 단순화 한다, (레이텍 기반, 유니코드 기반, 아스키 기반), 파이도 계산 가능

2. 방정식

• SymPy는 방정식도 품

3. 적분

• SymPy는 적분도 가능 => 심볼릭 정적분을 사용

4. 미분

• SymPy는 미분도 가능 => 부정적분 함수 사용 (sy.diff())

전역 최소화를 위한 필요조건은 두 개의 편미분값이 모두 0이 되어야 한다는 것이다.

마치며

이 장에서는 금융과 관련된 몇 가지 수학적인 주제와 도구를 다룸

함수 근사는 이자율 곡선 보간이나 아메리칸 옵션 가치 계산을 위한 회귀 기반 몬테카를로 분석등의 여러가지 금융 분야에서 중요

최적화 기법도 금융 분야에서 자주 사용 => 옵션 가격결정 보형의 인자들을 시장 호가나 내재 변동성 등에 맞추는 경우 최적화 사용

수치적분은 옵션 및 파생 상품의 가격 결정 시 사용 => 옵션 가치 계산은 확률 프로세스의 위험 중립 확률 측도를 구한 다음 단순히 옵션의 최종 가치를 그 확률 척도 하에 현재로 할인하여 기대치를 구하는 것일 뿐

12장에서 몇 가지 유형의 확률 프로세스를 위험 중립 척도에서 시뮬레이션 하는 것을 다룬다.

마지막으로 SymPy를 사용한 심볼릭 연산 => 적분, 미분, 방정식과 같은 다양한 수학 연산에서 심볼릭 연산은 아주 유용하고 효율적인 도구

• 2023 10